Une famille d'entiers divisibles par 6 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n^2-4n+3$ soit divisible par $6$ .

Solution

On fait un tableau de congruences modulo $6$ .

$\begin{array}{r}\begin{array}{|ccccccc|}\hline n\equiv ...[6]& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ n^2\equiv ...[6]& 0& 1& 4& 9\equiv 3& 16\equiv 4& 25\equiv 1\\ 4n\equiv ...[6]& 0& 4& 8\equiv 2& 12\equiv 0& 16\equiv 4& 20\equiv 8\\ n^2-4n+3\equiv ...[6]& 3& 0& 5& 0& 3& -4\\ \hline\end{array}\end{array}$  

Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{Z}$ , $n^2-4n+3$ est divisible par $6$ si, et seulement si, $n$ est de la forme $n=6k+1$ ou $n=6k+3$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .